Égalité

Webinaire d’introduction

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Éléments clés de la compréhension

Citation

Le National Council of Teachers of Mathematics déclare : « Pour bien comprendre le concept de l’égalité, l’une des premières choses que les élèves doivent assimiler est le fait que l’égalité est une relation, pas une opération. » (Traduction libre, 2000–2007).

https://www.learnalberta.ca/content/mepg7/html/pg7_preservationofequality/step1.html

Qu’est-ce que l’égalité?

L’égalité en mathématiques fait référence à une relation entre des objets pouvant être représentés par un nombre. Ces ensembles contiennent la même quantité d’objets, représentés par des nombres (entiers ou rationnels) ou par des unités de poids, de longueur, de surface, de volume.

Égal ne veut pas seulement dire similaire, mais similaire en quantité.

• la relation entre des objets pouvant être représentés par un nombre
• la base de la comparaison (plus, moins, égal)
• la comparaison de quantités
• une indication d’une relation enre deux quantités
• se rapporte à la « même quantité », pas seulement à la « similarité »
• implique une conservation de la quantité

Mise en garde contre la métaphore de la « balance » :
La balance, qui mesure la masse, est une métaphore très souvent utilisée lors de l’enseignement de l’égalité. Cependant, l’égalité va au-delà du concept de la balance. Nous devons utiliser divers modèles et/ou métaphores afin de prouver que d’autres attributs de l’égalité sont mesurables. Lorsque nous mentionnons la métaphore de la balance, nous voulons être certains que les élèves comprennent que nous utilisons l’expression être en équilibre comme un adjectif pour décrire l’état d’égalité, plutôt que comme un verbe (équilibrer).

Pourquoi l’égalité est-elle importante ?

Les notions d’égalité et d’inégalité sont à la base de tout ce que nous faisons en math. Nous les utilisons lorsque nous faisons des exercices avec des droites numériques, lorsque nous comparons, classons et déterminons la magnitude et lorsque nous développons une compréhension des propriétés commutatives, associatives et distributives. La notion d’égalité est importante, car les enfants ne voient pas que l’égalité se rapporte au nombre d’objets et non aux attributs physiques tels que la taille, la masse, etc.

Selon le Programme d’études de mathématiques de l’Alberta de la maternelle à la 9e année (2014), le changement et les relations sont deux des éléments qui définissent la nature des mathématiques.

Programme d’études de mathématiques de l’Alberta de la maternelle à la 9e année, Alberta Education, 2014

Pourquoi commencer par l’égalité ?

Il est important que les élèves comprennent d’abord les relations entre les nombres avant qu’on leur demande d’effectuer des opérations. Les opérations constituent un outil de réflexion et de communication pour nous aider à déterminer et prouver l’égalité et l’inégalité. Le signe égal découle naturellement d’un besoin de présenter de façon formelle qu’il y a égalité.

Connaissances de base des enseignants

Que dois-je savoir en tant qu’enseignant afin d’être capable d’enseigner le(s) concept(s) ?

Idées principales

Vocabulaire

Liens avec le programme d’études

Ébauche du programme M-4 (PDF)

Programme d’études actuel M-9 (PDF)

K-6 Equality Outcomes (French)

Preuves de la compréhension de l’apprenant

Quel niveau de compréhension vos élèves ont-ils de l’égalité ? Utilisez les « Grandes idées sur l’égalité » pour guider votre enseignement. Des exemples de preuves sont donnés pour chaque grande idée pour vous guider lorsque vous évaluerez le niveau de compréhension de vos élèves.

Grandes idées sur l’égalité

La recherche à l’appui

Ce que les chercheurs disent sur l’égalité :

La liste d’articles et/ou de recherches sur la pensée multiplicative qui suit vous est offerte à titre de suggestion. Certains sont en anglais, certains sont en français. Nous espérons que cette liste vous sera utile afin de poursuivre votre perfectionnement professionnel sur le sujet. Bonne lecture.

1. Les élèves à l’école élémentaire perçoivent souvent le signe égal (=) comme un symbole d’opération (c.à.d. ils doivent faire quelque chose ou écrire une réponse) même si le signe égal doit être perçu comme un symbole de relation. (Sherman & Bisanz, 2009). Les élèves doivent percevoir le signe égal comme un signe de relation, indiquant qu’une relation existe entre les nombres ou les expressions de chaque côté du signe égal (Jacobs, Franke, Carpenter, Levi, & Battey, 2007). Le nombre ou l’expression d’ un côté du signe égal doit avoir la même valeur que le nombre ou l’expression de l’autre côté du signe égal. Si le signe égal est interprété de manière opérationnelle, cela mène habituellement à des erreurs lors de la résolution d’équations avec des nombres manquants (par ex., 5 − ___ = 1) et à des difficultés avec la pensée algébrique (par ex., x − 2 = 2y + 4; Lindvall & Ibarra, 1980; McNeil & Alibali, 2005b). Cependant, les recherches ont démontré que le dialogue continu en salle de classe (par ex., Blanton & Kaput, 2005; Saenz-Ludlow & Walgamuth, 1998) ou un enseignement explicite (McNeil & Alibali, 2005b; Powell & Fuchs, 2010; Rittle-Johnson & Alibali, 1999) peuvent rectifier les interprétations incorrectes du signe égal faites par les élèves.Cette idée fausse, selon les chercheurs de l’université Texas A & M, peut entraver la réussite en mathématiques de l’élève. Selon leurs recherches, les élèves qui font preuve d’une bonne compréhension du signe égal réussissent mieux en mathématiques et persistent dans des domaines où des compétences en mathématiques sont requises, tels que l’ingénierie (Capraro & Capraro 2010).
2. ENSEIGNER LE CALCUL SANS PORTER ATTENTION À LA PENSÉE RELATIONNELLE ET ALGÉBRIQUE BLOQUE LES PROGRÈS ULTÉRIEURS DES ÉLÈVES. Les élèves doivent voir les mathématiques comme une recherche de régularités, de structures, de relations, comme un processus pour créer et tester des idées et en général, pour comprendre les situations quantitatives et spatiales (Schoenfild, 2008).
3. « Changer un côté ou les deux côtés d’un signe égal pour certaines raisons tout en préservant la relation « égale » est le secret des opérations mathématiques. » (Traduction libre, Liping Ma)
4. L’équivalence obéit à trois propriétés :
   a. la réflexivité, la relation relie une chose à elle-même, A est relié à A ;
   b. la symétrie, si A est relié à B, alors la direction opposée est aussi correcte, c.à.d. B est relié à A ; et
   c. la transitivité, si A est relié à B et que B est relié à C, alors A est relié à C.

• • La relation d’équivalence la plus utilisée en mathématiques est « est égal à ».
  • En ce qui concerne les propriétés d’équivalence, la transitivité (propriétés c. ci-dessus) semble être bien comprise, la symétrie (propriété b. ci-dessus) raisonnablement comprise et la réflexivité (propriété a. ci-dessus) semble ne pas être reconnue.
  • Les relations d’égalité étaient généralement perçues en termes d’équilibre et les élèves savaient très bien comment équilibrer des relations.
  • La transformation d’égalité était moins courante et les élèves plus âgés semblaient incapables d’interpréter des exemples tels que x + 3 = 5 en termes de changement et de changement inverse, même lorsqu’on leur montrait un exemple en détails.
  • Les chercheurs n’ont trouvé AUCUNE PREUVE en ce qui concerne la reconnaissance de la réflexivité. (Cooper, Rixon, Burnett)

Pour en savoir davantage :

Powell, S. R. (2012). EQUATIONS AND THE EQUAL SIGN IN ELEMENTARY MATHEMATICS TEXTBOOKS. The Elementary School Journal, 112(4), 627–648.

Essayez ceci!

Évaluation rapide

Les activités suivantes font parties du webinaire provincial sur la égalité. On vous suggère de choisir une ou plusieurs de ces activités et de les administrer à vos élèves. Vous pourrez alors attester des succès de vos élèves. Est-ce qu’ils ont une compréhension opérationnelle ou relationnelle de l’égalité?

Ressources

Les décisions relatives à la programmation et à la sélection du matériel d’apprentissage relèvent des autorités scolaires, des écoles, des enseignants et des élèves. L’utilisation de ressources autorisées n’est pas obligatoire. Un large éventail de matériel d’apprentissage peut être utilisé pour répondre le mieux aux besoins de chaque élève.

Cette section a pour but de fournir d’une variété de ressources classées par année et résultat d’apprentissage rélié au concept d’égalité.

Ces ressources sont offertes à titre de suggestion seulement et ont pour but de servir de complément à ce que vous utilisez déjà. Nous espérons que celles-i vous seront utiles

Plusieurs de ces ressources sont disponibles dans LearnAlberta.ca. Dans certains cas, il sera nécessaire d’être connecté afin d’y avoir accès. Vous aurez besoin de votre nom d’utilisateur et mot de passe d’école. Certaines de ces ressources sont des activités virtuelles dont l’interface est en anglais. Toutefois, les activités d’apprentissage peuvent être menées en français.

• Maternelle : le nombre
• Première année : le nombre
• Première année : les régularités et les relations (les variables et les équations)
• Deuxième année : le nombre
• Deuxième année : les régularités et les relations (les variables et les équations)
• Troisième année : le nombre
• Quatrième année : le nombre
• Cinquième année : le nombre
• Sixième année : le nombre
• Sixième année : les régularités et les relations (les variables et les équations)

Communication avec les parents

Suggestions pour utiliser les informations suivantes :
Les informations ci-dessous peuvent être présentées de plusieurs façons.

• Des parties peuvent être incluses dans les bulletins d’information mensuels de l’école destinés aux parents.
• Des éléments peuvent être discutés lors des entrevues parents-enseignants.
• Des idées peuvent être utilisées lors des soirées d’information pour les parents

Qu’est-ce que l’égalité ?

• L’égalité est le fait d’avoir un nombre égal d’éléments dans deux groupes

Pourquoi est-ce important ? Les enfants doivent bien maîtriser la notion d’égalité. Cela leur permet de :

• comparer des quantités et décider si un groupe a plus d’éléments, moins d’éléments ou un nombre égal d’éléments.
• passer de l’arithmétique à l’algèbre.

Activités
Voici des activités simples que vous pouvez faire avec votre enfant.

Progression
Voici comment le concept d’égalité change au fil des ans.

• En maternelle
  • une compréhension de l’égalité commence lorsque les élèves reconnaissent et nomment des agencements courants de un à cinq objets ou points (cela s’appelle subitizer)
  • les élèves comparent deux groupes d’objets (groupes de un à dix) en appariant les objets dans chaque groupe (la correspondance biunivoque). Cela permet aux élèves de dire quel groupe a plus d’objets ou moins d’objets ou encore si les deux groupes ont le même nombre d’objets.
• En première année
  • Les élèves reconnaîtront, nommeront et écriront les nombres de 1 à 20 et seront aussi capables de dessiner des objets pour montrer le nombre (par exemple, pour le nombre 7 il faut dessiner sept objets), et s’ils ont des objets (comme des perles), les élèves montreront donc que le nombre 16 signifie qu’il y a 16 perles.
  • Les élèves continuent à comparer deux groupes d’objets et à présent, il peut y avoir 1 à 20 objets par groupe.
  • Les élèves décriront les groupes. Si chaque groupe a le même nombre d’objets, les groupes sont « équilibrés », si un groupe a plus d’objets ou moins d’objets, les groupes sont donc « déséquilibrés ».
  • Les élèves seront capables de regarder des groupes d’objets et d’écrire l’équation mathématique qui décrit les groupes. Par exemple, si vous avez un groupe de sept objets et un autre groupe avec un tas de trois objets et un tas de quatre objets, l’élève écrira : 7 = 3 + 4
  • Si vous modifiez les tas, par exemple, si vous aviez un premier groupe de sept objets et que vous modifiez les tas du second groupe (à présent un tas de deux et un tas de cinq), l’élève saura que les deux groupes sont toujours égaux (qu’ils ont le même nombre d’objets).

Idées fausses

Vocabulaire

Autres sources d’information

Liens utiles pour les parents sur le site d’Alberta Education à

En français : https://education.alberta.ca/math%C3%A9matiques-m-%C3%A0-6/programme-d%C3%A9tudes/

En anglais : https://education.alberta.ca/mathematics-k-6/program-of-studies/

Message 27 – Un message mathématique aux familles (Seeley, 2009) (anglais seulement)

NCTM – Soutien aux familles – Aider vos élèves en math (anglais seulement)
http://www.nctm.org/News-and-Calendar/Messages-from-the-President/Archive/J_-Michael-Shaughnessy/Support-for-Parents-and-Families_-Helping-your-Math-Students/

NCTM – Algèbre – Faites-en une priorité pour les élèves ! (anglais seulement)
http://www.nctm.org/News-and-Calendar/Messages-from-the-President/Archive/Henry-(Hank)-Kepner,-Jr/Algebra%E2%80%94Connect-it-to-Students_-Priorities!/